核心提示：【柯西不等式的应用】柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+...
【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证明 如果了解柯西不等式,那么很简单
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
<==> 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附证 设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
<==> (x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9
<==> y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
<==> (y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.
因为 y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2. 所以上式显然成立.
求某些函数最值
例：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。（注：“√”表示平方根）
函数的定义域为[5,9]，y>0
y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2;+4^2;)×√{ [√(x－5)] ^2;+ [√(9－x)]^2; }=5×2=10
函数仅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44时取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。
