数学试题名师视频解析（3）-学习资料-教育杏坛

数学试题名师视频解析（3）

时间：2017-11-20 13:56:16 点击：

　　核心提示： 题干：年月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则的值等于( ) ...

题干：

$2002$ 年 $8$ 月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 $4$ 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 $\theta$ ，大正方形的面积是 $1$ ，小正方形的面积是 $\frac{1}{{25}}$ ，则 $\sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta$ 的值等于( )

解析：

∵ $(\cos \theta - \sin \theta )^2 = \frac{1}{{25}} \Rightarrow \cos \theta - \sin \theta = \pm \frac{1}{5}$ ，又 $\theta \in (0,\frac{\pi }{4})$ ，∴ $\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{5}$ ， $2\sin \theta \cos \theta = \frac{{24}}{{25}}$ ，∴ $\sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta = (\sin \theta - \cos \theta )(\sin \theta + \cos \theta )$ $= - \frac{1}{5}(\sin \theta + \cos \theta )$ $= - \frac{1}{5}\sqrt {1 + 2\sin \theta \cos \theta }$ $= - \frac{1}{5}\sqrt {1 + \frac{{24}}{{25}}}$ $= - \frac{7}{{25}}$